Question

如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点．该四棱锥的俯视图和左视图如图2所示．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：∥平面；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）位于点处，或中点处时

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用线面垂直的性质定理可得BC⊥PD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ∥CD，MQ＝CD．再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM∥BQ，利用线面平行的判定定理即可证明．（Ⅲ）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量所成的角的夹角公式即可得出

试题解析：（Ⅰ）证明：由俯视图可得，，

所以 ．

又因为 平面，

所以 ，

所以 平面．

（Ⅱ）证明：取上一点，使，连结，．

由左视图知 ，所以 ∥，．

在△中，易得，所以 ，又 ， 所以， ．

又因为 ∥，，所以 ∥，．

所以四边形为平行四边形，所以 ∥．

因为 平面，平面，

所以 直线∥平面．

（Ⅲ）【解析】
线段上存在点，使与所成角的余弦值为．

证明如下：

因为 平面，，建立如图所示的空间直角坐标系．

所以 ．

设 ，其中．

所以，．

要使与所成角的余弦值为，则有 ．

所以 ，解得 或，均适合．

故点位于点处，或中点处时，均符合题意

考点：直线与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定