Question

如图1，在△中，，为中点，于，延长交于.将△沿折起，得到三棱锥，如图2所示.

（Ⅰ）若是的中点，求证：∥平面；

（Ⅱ）若平面平面，试判断直线与直线能否垂直？并说明理由.

Answer

（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）不可能垂直

【解析】

试题分析：（Ⅰ）取FC中点N，推导出DN∥EF，MN∥，由此能证明DM∥平面；（Ⅱ）推导出EF⊥平面，从而⊥EF，假设⊥CD，则⊥平面BCD，⊥平面BCD，与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，从而直线与直线CD不能垂直

试题解析：（Ⅰ）证明：取中点.

在图1中，由，分别为，中点，

所以 ∥.

在图2中，由，分别为，中点，

所以 ∥，

所以 平面∥平面

所以 ∥平面.

（Ⅱ）【解析】
直线与直线不可能垂直.

因为平面平面，平面，，

所以 平面，

所以.

假设有，

注意到与是平面内的两条相交直线，

则有平面. （1）

又因为平面平面，平面，，

所以 平面.（2）

而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾！

所以直线与直线不可能垂直.

考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质