Question

如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设，是椭圆上异于点的任意两点，且．试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）直线恒过定点

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程；（Ⅱ）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入消去y，设 P，Q，利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入，消去y，解得x，设 P，转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标

试题解析：（Ⅰ）【解析】
设椭圆的半焦距为．依题意，得，

且 ，

解得 ．

所以，椭圆的方程是．

（Ⅱ）证法一：易知，直线的斜率存在，设其方程为．

将直线的方程代入，

消去，整理得 ．

设 ，，

则 ，．（1）

因为 ，且直线的斜率均存在，

所以 ， 整理得 ．（2）

因为 ，，

所以 ，．（3）

将（3）代入（2），整理得

．（4）

将（1）代入（4），整理得 ．

解得 ，或（舍去）．

所以，直线恒过定点．

证法二：直线的斜率均存在，设直线的方程为．

将直线的方程代入，消去，得

解得 ，或．

设 ，所以，，

所以 ．

以替换点坐标中的，可得 ．

从而，直线的方程是 ．

依题意，若直线过定点，则定点必定在轴上．

在上述方程中，令，解得．

所以，直线恒过定点．

考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程