Question

已知数列中，

（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；

（2）数列满足，求的前项和.

Answer

（1）证明见解析，；（2）

【解析】

试题分析：（1）由递推公式直接计算及即可证明数列是等比数列；（2）由已知写出数列的通项公式，将其分为两组求和，其中一组直接利用等差数列求和公式求之，另一组用错位相减法求和，再加在一起即可.

试题解析： （1）因为，

所以

又，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列

所以， 得

（2）由（1）知，所以

令，①

则，②

由①－②得

所以

考点：1.数列的递推公式；2.等比数列的定义与性质；3.错位相减法求和与分组求和.

【名师点睛】本题考查数列的递推公式、等比数列的定义与性质、错位相减法求和与分组求和，难题；由递推关系求数列通项公式常用思路有:1.算出前几项，再归纳、猜想；2.利用累加法或累积法求数列通项；3.一般形如或为常数）的数列，可采用待定系数法转化为等比数列求解.