Question

已知圆C：x²+y²=4

(Ⅰ)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2，求直线l的方程；

(Ⅱ)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量=+，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

Answer

（Ⅰ）或；（Ⅱ）点的轨迹方程是，轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，并去掉两点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先讨论直线的斜率不存在时是否符合题意，当直线有斜率时，可设直线方程为，由弦长为及圆的性质求出弦心距，再利用点到直线的距离等于弦心距求出斜率即可；（Ⅱ）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.∵，求出，由点在圆上代入圆的方程求之即可.

试题解析： （Ⅰ）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意.②若直线不垂直于轴，设其方程为，即.

设圆心到此直线的距离为，则，得∴，,故所求直线方程为.综上所述，所求直线为或.(没有x=1扣2分)

（Ⅱ）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.∵，

∴ 即,.又∵，∴.

由已知，直线m //x轴，所以，，∴点的轨迹方程是，

轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，并去掉两点.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.坐标替换法求轨迹方程;3.椭圆的定义及标准方程.