Question

在2 016年3月份“湖北省重点中学八校联考”考试中对数学成绩数据统计显示，八校10000名学生数学的成绩服从正态分布N(120，25)，襄阳五中高三随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95），第二组[95，105），…，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）试求出a的值；

（Ⅱ）试估计襄阳五中学生数学的平均成绩；

（Ⅲ）襄阳五中这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在八校10000名学生前13名的人数记为X，求X的分布列和期望．

附：．

Answer

（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）X的分布列为 数学期望值为1.2．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为，可求出第五组的频率为，用频率除以组距可求出；（Ⅱ）各组的中点值乘以其频率求和可求出平均成绩；（Ⅲ）先由正态分布求出时的概率，再计算出这50人中在135分以上的人数为4人，而在[125，145)的学生有50×(0.12+0.08)=10共有10人，分别计算当的概率，即可得到概率分布列及期望.

试题解析： （Ⅰ）由频率分布直方图可知[125，135）的频率为

1-(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=0.12，∴a=0.1210=0.012

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，估计襄阳五中高三年级全体学生的数学平均成绩约为

90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112

（Ⅲ）由于=0.0013，根据正态分布：P(120-3×5＜X＜120+3×5)=0.9974，故P(x≥135)=

=0.0013，即0.001310000=13，所以前13名的成绩全部在135分以上根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有50×0.08=4人，而在[125，145)的学生有50×(0.12+0.08)=10

所以X的取值为0，1，2，3．∴P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==；

所以X的分布列为

数学期望值为EX=0×+1×+2×+3×=1.2．

考点：1.频率分布直方图；2.离散型随机变量的分布列与期望.

【名师点睛】本题主要考查了.频率分布直方图；2.离散型随机变量的分布列与期望，属中档题；这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计

的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以

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