Question

已知椭圆的离心率，且过点

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)椭圆长轴两端点分别为、，点为椭圆上异于、的动点，定直线与直线、分别交于、两点，又，过 、、三点的圆是否过轴上不同于点的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．

Answer

(Ⅰ); (Ⅱ) 过点E、M、N三点的圆是以MN为直径的圆过点.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)由离心率可得， ，从而可得椭圆方程为，由点在圆上，代入椭圆方程求出即可求出椭圆方程； (Ⅱ)设的斜率分别为，则，设出直线方程分别为，求出点的坐标，可得，可知线段为圆的直径；设圆过定点，可得，解出的值即可.

试题解析： (Ⅰ)∵e=a=2c，∵a2=b2+c2b2=a2，

∴椭圆的方程为：+=1，∵M(1,)在椭圆上，∴a2=4，

∴所求椭圆的方程为：；

(Ⅱ)设PA、PB的斜率分别为k1、k2，，则

则PA：，则，PB：，则，

∴，，

设圆过定点，则，则或(舍)

故过点E、M、N三点的圆是以MN为直径的圆过点

考点：1.椭圆的定义与几何性质；2.圆的几何性质.