Question

已知函数．

（I）若为的极值点，求实数的值；

（II）若在上为增函数，求实数的取值范围；

（III）当时，方程有实根，求实数的最大值．

Answer

（I）；（II）；（Ⅲ） .

【解析】

试题分析：（I）求导，由求出的值即可；（II）由在区间上恒成立，当时符合题意，当时，由在区间上恒成立得在区间上恒成立，构造函数，其对称轴为，所以只要求出即可；（Ⅲ）当时，在区间上有解，构造函数，及，对函数求导，研究函数的单调性，可得，所以，可得的最大值为.

试题解析：（I）

∵为的极值点，∴，即，解得

（II）因为函数在上为增函数，

所以在上恒成立。

①当时，在上恒成立，∴在上为增函数，故 符合题意。

②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，

∴在上恒成立。

令函数，

其对称轴为，∵，∴，要使在上恒成立，只要即可，

即，∴。∵，∴。

综上所述，的取值范围为。

（Ⅲ）当时，方程可化为。

问题转化为在上有解，

即求函数的值域。

∵函数=x(lnx+x-x2)，

令函数，则，

∴当时，，从而函数在上为增函数，

当时，，从而函数在上为减函数，因此。

而，所以，因此当时，b取得最大值0.

考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性；3.函数与方程.

【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、导数与函数的单调性、函数与方程，属难题；同时考查了分类讨论、数形结合、转化的思想方法等重要数学思想与方法，意在考查学生结合所学知识分析问题、解决问题的能力，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，或把方程的解的问题转化为函数的零点问题，从而得到解决问题的方法.