Question

如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与轴交于点，与椭圆交于、两点．当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时， 弦的长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在点，使得为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）存在点，使得为定值.

【解析】

试题分析：（1）由离心率，用同一个字母表示，代入椭圆方程，再根据椭圆通径长为，求出，即可求出椭圆方程；（2）假设存在点，使得为定值，设，先讨论与轴重合或垂直时存在点满足题意；当直线有斜率且不为时，讨论过点的直线:满足条件即可，将直线方程代入椭圆方程，由一元二次方程根与系数关系得到与的关系，计算为定值即可.

试题解析： （1）由，设，则，，

所以椭圆的方程为，因直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点，即，代入椭圆方程，解得，于是，即，所以椭圆的方程为

（2）假设存在点，使得为定值，设，

当直线与轴重合时，有，

当直线与轴垂直时，，

由，解得，，

所以若存在点，此时，为定值2．

根据对称性，只需考虑直线过点，设，，

又设直线的方程为，与椭圆联立方程组，

化简得，所以，，

又，

所以

将上述关系代入，化简可得．

综上所述，存在点，使得为定值.

考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.

【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，属难题；求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．