Question

已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1） ；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1） 当时，，求导，由求出切线斜率及点，即可求出切线方程；（2）由在定义域区间上恒成立得，利用基本不等式求出函数的最大值，即可求出的取值范围；（3）构造函数，由在区间上，函数至少存在一点使，即由在区间上，求出的范围即可.

试题解析：已知函数.

（1），，

，， 故切线方程为：.

（2），由在定义域内为增函数，所以在上恒成立，∴即，对恒成立，设，，

易知，在上单调递增，在上单调递减，则，

∴，即.

（3）设函数，，

则原问题在上至少存在一点，使得

，

当时，，则在上单调递增，，舍；

当时，，

∵，∴，，，则，舍；当时，，

则在上单调递增，，整理得，

综上，.

考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值、最值；3.函数与不等式.

【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、极值、最值以及函数与不等式，属难题；给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式;利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.