Question

四棱锥中，底面为平行四边形，侧面面，已知，，，.

（1）设平面与平面的交线为，求证：；

（2）求证：；

（3）求直线与面所成角的正弦值.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1） ， ，，，又平面SCD与平面SAB的交线为，由线面平行的性质定理即可证明结果；（2）连接AC，由余弦定理得，取中点，连接，则.由线面垂直的判定定理和性质即可证明结果.

（Ⅲ）如图，以射线OA为轴，以射线OB为轴，以射线OS为轴，以为原点，建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可求出直线与面所成角的正弦值.

试题解析：（1）证明：底面为平行四边形

.

，

又平面SCD与平面SAB的交线为

.

（2）证明：连接AC， ，

由余弦定理得， 6分

取中点，连接，则.

面

（Ⅲ）如图，以射线OA为轴，以射线OB为轴，以射线OS为轴，以为原点，建立空间直角坐标系,

则 ，．

，

设平面法向量为

有令 ，则，

所以直线与面所成角的正弦值为

考点：1.线面平行的判定定理和性质定理；2.线面垂直的判定定理和性质定理；3.线面成角；4.空间向量在立体几何中的应用.