Question

设函数，，且存在两个极值点、，其中.

（1）求实数的取值范围；

（2）求的最小值；

（3）证明不等式：.

Answer

（1）；（2）；（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）存在两个极值点，等价于其导函数有两个相异零点；（2）先找出的取值范围，再利用的导函数可找出最小值；（3）适当构造函数，并注意与的关系，转化为函数求最大值问题，证明相关不等式．

试题解析：（1）由题：

∵存在两个极值点、，其中 .

∴关于的方程即在内有不等两实根

令 , ，则

由图像可得 ∴实数的取值范围是

（2）由（Ⅰ）可知 ∴

∴ 由得

∴当 时， ，即在(-2,-1)单调递减；当 时， ，即在单调递增

∴ .

（3）由（Ⅰ）知

∴ 令 ，则 且 令 ，则

∴

∵ ∴ 即在上是减函数∴

∴在上是增函数

∴,即 即.

考点：1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.利用导数研究函数的单调性．

【方法点睛】利用导数求函数的极值的一般方法：求函数的极值的方法：（1）求导数； （2）求方程的根（临界点）；（3）如果在根附近的左侧，右侧，那么是的极大值；如果在根附近的左侧，右侧，那么是的极小值.