Question

如图，已知在三棱锥中，，，为的中点，为的中点，且为正三角形.

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面平面.

Answer

证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）要证线面平行，就要证线线平行，由于都是中点，则中位线定理易知，因此再由线面平行的判定定理可得；（2）要面面垂直，就是要证线面垂直，观察题中垂直条件，由为正三角形得，从而，再由，得，从而，于是可证，由上可得面面垂直的结论．

试题解析：（1）∵、分别为、的中点，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面.

（2）连接，∵为正三角形，为的中点，

∴，∴，又，

，∴平面.

∵平面，∴，

∵，，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.

考点：线面平行的判定，面面垂直的判定．

【名师点睛】1．判断或证明线面平行的常用方法:

（1）利用线面平行的定义(无公共点);

（2）利用线面平行的判定定理(aα,b⊂α,a∥b⇒a∥α);

（3）利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);

(4)利用面面平行的性质(α∥β,aα,aβ,a∥α⇒a∥β).

2.证明平面与平面垂直，（1）主要方法是判定定理,通过证明线面垂直来实现,从而把问题再转化成证明线线垂直加以解决；（2）线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂直证明题的指导思想,其中线线垂直是最基本的,在转化过程中起穿针引线的作用,线面垂直是纽带,可以把线线垂直与面面垂直联系起来.