Question

已知函数（是自然对数的底数），.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求的最大值；

（3）设，其中为的导函数. 证明：对任意，.

Answer

（1）；（2）的最大值为；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求切线方程，求出导数，计算，，方程为，化简即得；（2）求的最大值，可先求，令得解（可能有多解），讨论的符号，得单调性，从而可得最大值；（3）计算得,要证，只要证，而（2）已证明的最大值为，因此只要证即可，这显然成立．

试题解析：（1）由，得，

，所以，

所以曲线在点处的切线方程为.

（2），.

所以.

令得，.

因此当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以在处取得极大值，也是最大值.

的最大值为.

（3）证明：因为，所以,

，等价于.

由（2）知的最大值为，故

只需证明时，成立，这显然成立.

所以，

因此对任意，.

考点：导数与切线，导数与最值，导数的综合运用．