Question

已知函数 ．

（1）当 时，求曲线在 处的切线方程；

（2）设函数 ，求函数的单调区间；

Answer

（1）；（2）当时， 在 上单调递减，在 上单调递增．当 时，在上单调递增．

【解析】

试题分析：（1）求切线方程，是基础题，方法是求出，计算，，可写出切线方程；（2）定义域是，求出，

研究根的正负，即可得出的单调性．

试题解析：（1）当 时，, ，切点 ,

∴ ，

∴曲线 在点（处的切线方程为： ，即

（2），定义域为 ，

，

①当 ，即 时，令 ，

∵

令,∵ ．

②当 ，即 时，恒成立，

综上：当时， 在 上单调递减，在 上单调递增．

当 时，在上单调递增．

考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性．

【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：

（1）已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；

（2）已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；

（3）已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝ 求解．