Question

已知函数（其中为常数）.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，设函数的个极值点为，且.证明：.

Answer

（1）单调减区间为,;增区间为；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求单调区间，先求导数，令求得解，列表分析的正负，得单调区间；（2）本小题考查导数的综合应用，难度较大，解决问题时先研究什么时候有三个极值点，由，因此再研究函数的单调性，，这样函数在上单调递减，在上单调递增，，只有时，才能有三个极值点，因此有，三个极值点为，计算，，因此三个极值中，是的零点．由消去得，由此等式研究函数，，由得，即函数在是递减，在上递增，于是要证明 ，即证，构造函数，，所以只要证在上单调递减，注意到，通过其，（）可判断结论．

试题解析：（1）求导得：.

令可得.列表如下:

单调减区间为,;增区间为.

（2）由题，

对于函数，有

∴函数在上单调递减，在上单调递增

∵函数有3个极值点，

从而，所以，

当时，，，

∴ 函数的递增区间有和，递减区间有，，，

此时，函数有3个极值点，且；

∴当时，是函数的两个零点，

即有，消去有

令，有零点，且

∴函数在上递减，在上递增

要证明

即证

构造函数，，所以

只需要证明单调递减即可.而， 在上单调递增,

∴当时，.

考点：导数与单调性，导数的综合应用．

【名师点睛】求函数的单调区间的“两个”方法

（1）方法一：①确定函数y＝f(x)的定义域；

②求导数y′＝f′(x)；

③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

（2）方法二：①确定函数y＝f(x)的定义域；

②求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；

③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；

④确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．