Question

如图所示，△内接于⊙，直线与⊙相切于点，交的延长线于点，过点作∥交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）若直线与⊙相切于点，且，，求线段的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）3．

【解析】

试题分析：（1）要证，可先证明△∽△，而这个相似形的证明只要再证明即可，由平行线及弦切角定理可得；（2）由切割线定理得，这样可得，再由（1）得，最后由平行线得相似形：△∽△后可求得．

试题解析：（Ⅰ）证明：因为是⊙的切线，所以（弦切角定理）．

因为，

所以．所以．

因为（公共角），所以△∽△．

所以．即．

（Ⅱ）【解析】
因为是⊙的切线，是⊙的割线，

所以 （切割线定理）．

因为，，所以，．

由（Ⅰ）知，所以．

因为，所以△∽△．所以．所以．

考点：弦切角定理，相似三角形的判断与性质，切割线定理．