Question

设过点的直线交抛物线于B、C两点，

（1）设直线的倾斜角为，写出直线的参数方程；

（2）设P是BC的中点，当变化时，求P点轨迹的参数方程，并化为普通方程.

Answer

（1）为参数）；（2）P点轨迹的参数方程为为参数），

【解析】

试题分析：（1）由参数方程的定义知过倾斜角为直线的参数方程是；（2）将（1）中直线参数方程代入抛物线方程，整理可得的一元二次方程，则点参数的参数为，代入直线参数方程得点参数方程，此时是参数，消去参数可得普通方程．

试题解析：（1）直线的参数方程为为参数）

（2）设，将为参数）代入得

则P点对应的参数 为

；

所以P点轨迹的参数方程为为参数），由代入消去参数得，此为普通方程．

考点：直线的参数方程，求轨迹方程．

【名师点睛】1.直线的参数方程的应用非常广泛,主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.在解决这类问题时,充分利用直线参数方程中参数t的几何意义,可以避免通过解方程组找交点等繁琐的运算,使问题得到简化.直线的参数方程有多种形式,只有标准式中的参数才具有明确的几何意义.

2.把参数方程化为普通方程,消参数的方法有:代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法等.普通方程化为参数方程:关键是如何引入参数.若动点坐标x,y与旋转角有关时,通常选择角为参数;与运动有关的问题,通常选择时间为参数等.在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.