Question

设函数在点处的切线方程为．

（1）求值，并求的单调区间；

（2）证明：当时，．

Answer

（1），，在单调递减，在单调递增；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由导数几何意义，题意结合的条件就是，由此可解得值；由得增区间，由得减区间；（2）要证不等式，就是要证，为此只要求得时，的最大值，这可利用导数的知识求得，，从而结论得证．

试题解析：（1），

由已知，，，故，，

，当时，，当时，，

故在单调递减，在单调递增；

（2）不等式，即，

设，，

时，，时，，

所以在递增，在递减，

当时，有最大值，

因此当时， ．

考点：导数的几何意义，导数与单调性，构造法证明函数不等式．