Question

已知各项都是正数的数列的前项和为，，

（1） 求数列的通项公式；

（2） 设数列满足：，，数列的前项和，求证：；

（3）  若对任意恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）本小题是已知与的关系求通项公式的题型，方法是先由，求出，然后利用当时，得到与的关系，再求通项；（2）由已知得，已知前后项的差，因此可用累加法求得通项，即由得，从而用裂项求和法求出的前项和，并证得题设结论；（3）不等式恒成立，可变形为，为此只要求得的最大值即可，这可由基本不等式得到结论．

试题解析：（1）时，

是以为首项，为公差的等差数列

（2）

，

（3）由得， 当且仅当时，有最大值，

考点：已知与的关系求通项公式，累加法求通项，裂项相消法求和，数列与不等式的综合．