Question

已知椭圆的右顶点为抛物线 的焦点,离心率为

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点,若线段的中点横坐标是,求直线的方程.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） ．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要求椭圆的标准方程，要找到关于的两个条件，题中离心率是一个，还有一个是抛物线的焦点为，它为椭圆的右顶点，则有，由此可得椭圆标准方程；（Ⅱ）本小题涉及直线与椭圆相交弦中点问题，处理方法是设交点为,中点为，设直线方程为，代入椭圆方程整理后可得，由，即可求得，注意直线与椭圆相交，因此有，从而可得直线方程．

试题解析：（Ⅰ）抛物线的焦点为,依题意可知

因为离心率,所以

故

所以椭圆的方程为:

（Ⅱ）设直线

由 , 消去可得

因为直线与椭圆相交于两点,

所以

解得

又

设,中点

因为线段的中点横坐标是

所以 ，解得或

因为,所以

因此所求直线

考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交弦中点问题．

【名师点睛】遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆=1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线=1中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线y2=2px(p>0)中,以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=.