Question

已知，且.

(Ⅰ)求的最大值；

（Ⅱ）求证：.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用基本不等式可求得的最大值；（Ⅱ）此不等式的证明可用分析法，要证原不等式成立，只要证，由已知即证，也即只要证或，前者（Ⅰ）已证，后者不可能．此题还能直接用基本不等式证明，证此题的关键是利用，证法很多．

试题解析：(Ⅰ)∵，且,∴，∴（当且仅当时，等号成立）的最大值为

（Ⅱ）证法一：（分析法）（5分）欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0，即证4(ab)2-33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立.∵1=a+b≥，∴ab≤，从而得证.

证法二:(比较法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥，∴ab≤.(a+)(b+)-=≥0. ∴(a+)(b+)≥

考点： 基本不等式．