Question

函数（）．

（1）若，且对任意，恒有，求的取值范围；

（2）若的最大值为，最小值为，求实数，的值．

Answer

（1）；（2），．

【解析】

试题分析：（1）首先对函数进行变形，式子中即有，又有，因此用换元法转化为二次函数的问题．，设，则，问题转化为在上恒成立，可分离参数为，这样只要求得的最大值即可解得的范围；（2）同（1）化简得，令（），则，

最大值为，最小值为，按对称轴与区间的关系分类求得最大值和最小值，从而得值．

试题解析：（1）当时，函数式可化简如下：

，

令（），对任意，恒有，

即为，分离参数得：，

由在递增，所以，

因此，解得，

即实数的取值范围为；

（2），令（），

记，图象的对称轴，且开口向下，

①当时，即，函数在上单调递减，则

，，

解得，；

②当时，即，函数在上先增后减，则

，，

解方程可得，，由于，不合题意，舍去．

综上解得，．

考点：两角和的正弦公式，换元法，二次函数在给定区间上的最值问题．

【名师点睛】三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，它往往与二次函数、三角函数的图象、三角函数的单调性等知识结合在一起，有一定的综合性，在求解时，一要注意三角函数式的变形方向，二要注意正、余弦函数本身的有界性，还要注意灵活选用方法．本题在化角为后，把函数化为关于的函数，因此用换元法设，把转换为的二次函数，一定要注意的取值范围．