Question

如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，底边．

（1）设，求三角形铁皮的面积；

（2）求剪下的铁皮三角形的面积的最大值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）设与交于点，由，利用锐角三角函数可求得，进而求得，代入面积公式可得；（2）设，由，结合锐角三角函数的定义可求得，代入三角形的面积公式，展开后利用换元法（设），转化为二次函数的最值问题．

试题解析：（1）由题意知，

，

，

，即三角形铁皮的面积为；

（2）设，则，，

，

，

令，由于，所以，

则有，所以，

且，所以，

故，

而函数在区间上单调递增，

故当时，取最大值，即，

即剪下的铁皮三角形的面积的最大值为．

考点：三角函数的定义，三角函数的最值，换元法．

【名师点睛】本题是三角函数的应用题，解题时选定为参数，三角形的面积可表示为三角函数式，再用换元法设，把三角函数转化为二次函数，从而求得最值．在同时出现和的式子中经常这样换元，一般情况下，本题是实际问题，．