Question

设函数，其中是实数，已知曲线与轴相切于点.

（1）求常数的值；

（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）.．

【解析】

试题分析：（1）由切线切于原点知及，可得；（2）不等式恒成立，即在上的最小值大于或等于0，因此要研究的单调性、极值，为此求得，，为了确定的正负，再求导，由二阶导数的正负确定一阶导数的单调性及正负，从而确定的单调性，最值．对分类：，，．分类后研究可得．

试题解析：（1）因为与轴相切于点,

，则．

（2），，

①当时，由于，有，

于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有符合；

②当时，由于，有，

于是在上单调递减，从而，

因此在上单调递减，即不符；

③当时，令，当时，

，于是在上单调递减，

从而，因此在上单调递减，

即而且仅有不符.

综上可知，所求实数的取值范围是.

考点：导数的几何意义，不等式恒成立，导数与单调性、最值．

【名师点睛】本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义．已知函数点处的切线方程，实际上已知两个条件：和．在求函数的最值时，一般要研究函数的单调性，这就要求研究导数的正负，象本题导数的正负也不易确定时，还必须研究导函数的单调性，从而又要对导函数再求导，得二阶导数，由的正负确定的单调性，从而确定的正负．这在导数的复杂应用中经常采用．