Question

已知函数（为常数且）．

（1）若函数的定义域为，值域为，求的值；

（2）在（1）的条件下，定义区间，，，的长度为，其中，若不等式，的解集构成的各区间的长度和超过，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）三角函数问题，首先把函数化简变形为一个三角函数形式，本题利用二倍角公式化角为形式，再由两角和的正弦公式化为一个三角函数，即，由的范围求得的范围从而得范围，结合已知，可求得；（2）不等式为，作出函数的图象，注意到区间正好是函数一个周期的长度，因此可考虑其图象在一个周期内在直线上的部分对应解区间的长度不超过，因此有需，从而得的范围．

试题解析：（1）由三角函数公式化简可得：

，

，，，

，由已知可得函数值域为，；

（2）由题意可得，即，

要使解集构成的各区间的长度和超过，需，解得

考点：三角函数的恒等变形，三角函数的定义域与值域，三角不等式问题，三角函数的图象的应用．