Question

如图，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，，沿将翻折到，连接，得到如图的五棱锥，且．

（1）求证：；

（2）求四棱锥的体积．

Answer

（1）详见解析（2）3

【解析】

试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理，即先证明线面垂直：平面，而证明线面垂直，一般利用其判定定理，可根据推证（2）求锥的体积，关键确定其高，即从线面垂直确定高线：平面，再利用锥的体积公式求解

试题解析：（1）证明：∵点分别是边的中点，

∴，

∵菱形的对角线互相垂直，∴，∴，

∴，

∵平面平面，

∴平面，∴平面，∴

（2）【解析】
设，连接，∵，

∴为等边三角形，∴，

在中，，

在中，，∴．

∵，平面，平面，

∴平面，梯形的面积，

∴四棱锥的体积．

考点：线面垂直性质与判定定理，锥的体积

【方法点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.