Question

若椭圆的左右焦点分别为，线段被抛物线的焦点内分成了3：1的两段．

（１）求椭圆的离心率；

（２）过点的直线交椭圆于不同两点，且，当的面积最大时，求直线和椭圆的方程．

Answer

（1）（2）或．

【解析】

试题分析：（1）先确定抛物线焦点，因此，解得（2）直线与椭圆位置关系，一般利用韦达定理进行转化：设直线，由得，再由得，从而，因此，进而确定直线方程及椭圆方程

试题解析：（1）由题意知，，∴；

（2）设直线

∵，∴，即 ①

由（1）知，，∴椭圆方程为，

由，消去得，

∴ ②， ③

由①②知，，

∵，

∴，

当且仅当，即时取等号，此时直线方程为或．

又当时，，

∴由，得，∴椭圆方程为．

考点：直线与椭圆位置关系

【方法点睛】运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再结合椭圆性质、已知条件定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可．直线与椭圆的位置关系等基础知识和运算求解的基本技能，考查推理论证能力及数形结合思想．直线与圆锥曲线的位置关系的判断通常利用联立两方程，由判别式来判定．