Question

已知函数，，

（1）证明：当时，；

（2）证明：当时，存在，使得对任意，恒有．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）作目标函数，利用导数研究其单调性：在上单调递减，因此（2）作目标函数，分析其单调性：当，所以在上单调递增，满足题意，当时，取， 在上单调递增，此时，即，

试题解析：（1）令，则有，当，，所以在上单调递减；

故当时，，即当时，．

（2）令，

则有，当，所以在上单调递增，，故对任意正实数均满足题意，

当时，令，得，

取，对任意，恒有，所以在上单调递增，，即，

综上，当时，总存在，使得对任意的，恒有．

考点：利用导数证明不等式

【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.

（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.