Question

有如下几个结论：

①若函数满足：，则2为的一个周期；

②若函数满足：，则为的一个周期；

③若函数满足：，则为偶函数；

④若函数满足：，则为函数的图像的对称中心；正确的结论为（   ）

A．②③             B．①④               C．①③               D．①③④

Answer

B

【解析】

试题分析：根据已知分析函数的周期性，可判断①②；分析函数的奇偶性，可判断③；分析函数的对称性，可判断④．

①则2为y=f（x）的一个周期，故正确；②f（2x）=f（2x+1），令t=2x，∴f（t）=f（t+1），∴f（x）=f（x+1），则1为y=f（x）的一个周期，故错误；③y=f（x+1）为偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），故正确；

④若函数y=f（x）满足：f（x+3）+f（1-x）=2，令t=x+3，则x=t-3，1-x=4-t，即f（t）+f（4-x）=2，即函数y=f（x）的图象关于（2，1）点对称，则函数y=f（x-1）的图象的对称中心为（0，0），故错误；故正确的结论为：①③，故答案为：①③

考点：函数的周期性，函数的奇偶性，函数的对称性

【方法点睛】判定函数奇偶性的常用方法及思路

（1）．定义法：

（2）．图象法：

（3）．性质法：

①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；

②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；

③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．

易错分析：（1）“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．

（2）判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．

5.函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略

（1）函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性；

（2）周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；

（3）周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.