Question

已知为定义在上的奇函数，当时，为二次函数，且满足在上的两个零点分别为1和3.

（1）求函数在上的解析式；

（2）作出的图像，并根据图像讨论关于的方程根的个数.

Answer

（1）；

（2） 当或时，方程有1个根；

当或，方程有2个根；

当或时，方程有4个根；

当时，方程有5个根.

【解析】

试题分析：（1）由题意得当时，设，由f（2）=1，求得a 的值，即得f（x）的解析式．X<0时，则有-x>0，利用奇函数的性质求出f（x）的解析式，再由f（0）=0，即可得到f（x）在R上的解析式；（2）作出f（x）的图象，方程f（x）-c=0得根的个数即直线y=c和y=f（x）的图象交点个数，数形结合得出结论．

试题解析：（1）由题意，当时，设

，当时，为上的奇函数，

即时，，当时，由得：

所以；

（2）作出的图像（如图所示）

由，在图中作，根据交点讨论方程的根：

当或时，方程有1个根；

当或，方程有2个根；

当或时，方程有4个根；

当时，方程有5个根.

考点：方程的根的个数判断方法、函数的奇偶性的应用以及二次函数的性质