Question

已知函数

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）求所有的实数，使得对任意，函数的图像恒在函数图像的下方；（注：不等式）；

（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围.

Answer

（1）和；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）a=3时，由此能求出f（x）的单调减区间；（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，由此能求出所有的实数a．（3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；当a∈（2，4]时和当a∈[-4，-2）时，等价转化f（x）的表达式，利用函数的单调性能得到实数t的取值范围．

试题解析：（1）由得函数的单调递增区间为和

（2）由题意得对任意的实数恒成立

即，当恒成立，即

故只要且在上恒成立即可

在时，只要的最大值小于且的最小值大于即可

而当时，为增函数，；

而当时，为增函数，

（3）当时，在上是增函数，则关于的方程不可能有三个不等的实数根，

则当时，由得时，，对称轴，则在为增函数，此时的值域为

时，，对称轴，则在为增函数，此时的值域为，在为减函数，此时的值域为

由存在，使得即可，令

只要使即可，而在上是增函数，

故实数的取值范围为

同理可求当时，的取值范围为

综上所述，实数的取值范围为.

考点：函数恒成立问题；二次函数的性质；根的存在性及根的个数判断．

【方法点睛】1、恒成立问题的转化：恒成立；

2、能成立问题的转化：能成立；

3、恰成立问题的转化：在M上恰成立的解集为M

另一转化方法：若在D上恰成立，等价于在D上的最小值，若在D上恰成立，则等价于在D上的最大值.

4、设函数、，对任意的，存在，使得，则

5、设函数、，对任意的，存在，使得，则

6、设函数、，存在，存在，使得，则

7、设函数、，存在，存在，使得，则

8、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方；

9、若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方；