Question

已知数列的各项均为正数，前项和为，且

（1）求证数列是等差数列；

（2）设若对于任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）由题，可得，相减可得，因为数列的各项均为正数，所以，得到其为等比数列；（2）结合（1）可得，然后得到，进而求得，根据数列的单调性求得.

试题解析：（1） ①

②

①-②得：整理得：

数列的各项均为正数，

时，数列是首项为公差为的等差数列；

（2）由第一问得，

，

,单调递增，,.

考点：数列的递推关系；裂项相消法；恒成立问题；数列与函数的关系

【名师点睛】数列与函数的综合一般体现在两个方面

（1）以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；

（2）数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．