Question

已知函数的定义域为，其导函数为．

（I）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（II）若，曲线在处的切线为直线，求直线与函数及直线、围成的封闭区域的面积．

Answer

（I）；（II）.

【解析】

试题分析：（I）由在上单调递增，则在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，利用导数求解函数的最小值，即可求解实数的取值范围；（II）利用导数求解出处的切线为直线的方程，确定定积分，求解定积分的值，得到封闭图形的面积.

试题解析：（I） 由已知，则在上恒成立，

即在上恒成立，设，则，

由得，∴ 当时，单调递减，

当时，单调递增，则最小值为，从而；

（II）时，，，，因而切线方程为

，在上单调递增，，

从而所求封闭图形面积为．

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线在某点处的切线方程.