Question

  已知函数．

（I）若，求函数的最大值与最小；

（II）若，且恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1），；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求出函数的导数，得出函数的单调性，即可求解函数的最大值与最小；（2）设新函数，求出，得到函数在区间上单调递减，即可求解函数的最大值与最小值，进而得出实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）由已知，

当时，因而单调递减，

当时，因而单调递增，

则的最小值为，

又，因而的最大值为；

（Ⅱ）设，则，

由（I），当时，因而，

因而在上单调递减，因而，

即，那么恒成立，则.

考点：利用导数研究函数的单调性与最值.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最大值与最小值问题及函数恒成立问题的求解，试题有一定的思维量，属于中档试题，着重考查了转化与化归思想的应用，同时本题第二问的解答中，对于恒成立，转化为构造新函数的最值，是解答本题的关键.