Question

  已知函数 .

（I）若，求的极值；

（II）若，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.

Answer

（I）的极小值为；（II）或.

【解析】

试题分析：（I）求出导数，分别令和，可得到函数的增区间和减区间，得出函数的极值，要注意函数的定义域；（II）利用参数分离将问题转化为有唯一正实根，再通过求导的方式研究其性质，注意到函数的导函数的比较复杂，因此在研究时，可将导函数分成分子、分母来分别研究.

试题解析：（I）时，，其中

则=0得

当时，单调递减，当时，单调递增，

因而的极小值为 ；

（II）若有且只有一个零点，即方程在上有且只有一个实数根，

分离参数得，设，则，

又设，，而

因而当时，当时，

那么当时，单调递增，

当时，单调递减，，

又恒有，且时，

，且时，

从而与，即或时函数有且只有一个零点.

考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点；利用导数研究函数的极值.

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题、利用导数研究函数的极值问题等知识的应用，着重考查了恒成立问题中参数分离法的应用和转化与化归思想的应用，值得一提的是用导数的方法研究函数性质时，当所求的导函数形式比较复杂时，可以考虑分别去研究函数的性质，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中利用参数分离将问题转化为有唯一正实根是解答问题的关键.