Question

已知函数，其中．

（Ⅰ）求证：函数在处的切线经过原点；

（Ⅱ）如果的极小值为1，求的解析式．

Answer

（I）证明见解析；（II）．

【解析】

试题分析：（I）求解函数的导数，确定切线的斜率，求出切线的方程，即可证明在处的切线经过原点；（II）求出的根，判断函数单调性，确定函数的极小值，令极小值为，求出的值，进而得出函数的解析式．

试题解析：（I） 由已知，则，

即函数在处的切线斜率为，而，

因而切线方程为

即，因而经过原点；

（II） 由，得，

当时，单调递减，

当时，单调递增，

∴的极小值为，由已知，显然有解

设，则，则

因而时，单调递增，时，单调递减，

∴极大值为，因而方程有且只有一解，∴．

考点：利用导数研究曲线上在某点处的切线方程；利用导数研究函数的极值．

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上在某点处的切线方程、利用导数研究函数的极值、函数解析式的求解等知识点的应用，其中牢记导数的运算公式及导数与函数的单调性与极值（最值）的求解方法是解答本题的关键，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力及学生的推理与运算能力．