Question

已知函数．

（Ⅰ）若函数在区间为（0，1）上单调递减，求的取值范围；

（Ⅱ）若取（I）中的最小值，且，求证：.

Answer

（I）；（II）证明见解析．

【解析】

试题分析：（I）求出函数的导数，转化为在区间上恒成，即可求解的取值范围；（II）要证明，只需证明，设函数，利用导数确定函数的单调性，即可求解最小值；设，利用导数确定的单调性，即可作出证明．

试题解析：（Ⅰ） 由已知在（0，1）上恒成立，即恒成立，

因而；

（Ⅱ）由（Ⅰ），则，

因而要证明，只需证明.

一方面设，则，可知上函数单调递减，上单调递增，因而最小为0，则

另一方面设，，因而在单调递减，

，综上，则时成立.

考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值与最值；不等式的证明．

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、不等式的证明等知识的应用，解答中合理的转化和构造新函数，利用新函数的性质是解答问题的关键．着重号考查了转化与化归思想和构造思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中把函数在区间上的单调性转化为不等式的恒成立问题，同时把不等式的证明转化为新函数的性质，此类问题平时要注意总结和积累．