Question

已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式对于恒成立，则实数的取值范围为（   ）

A．             B．               C．               D．

Answer

D

【解析】

试题分析：由题意得，函数为偶函数，所以，则，即，不等式对于恒成立，即函数对于恒成立，又函数在上递减，所以，即，即对于恒成立，即对于恒成立，所以对于恒成立，当时，函数取得最大值，此时最大值为，设，则，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数 单调递增，所以当，函数有最小值，此时最小值为，所以实数实数的取值范围为，故选D．

考点：函数的奇偶性与单调性的应用；不等式的恒成立问题．

【方法点晴】本题主要考查了考查了函数的单调性与奇偶性的应用、利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的恒成立问题的求解等知识点综合应用，试题综合性强，有一定的难度，属于中档试题，其中利用函数的奇偶性与单调性，把不等式的恒成问题转化为对于恒成立是解答的关键，着重考查了转化与化归思想与推理与运算能力．