Question

如图，在直三棱柱中，，，，是线段上一点．

（1）设，求异面直线与所成角的余弦值；

（2）若平面，求二面角的正切值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）建立以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量和，利用向量所成的角的大小；（2）求出平面和平面的法向量，，利用平面的法向量所成的角，得到二面角的大小．

试题解析：（1）由得．

以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设，则由得，而，

所以异面直线与所成角的余弦值为．

（2）连接交于点，则为的中点．

因为平面平面，且平面，所以，

所以为的中点．

所以，

设平面的一个法向量为，

则，，

令，可取平面的一个法向量为，

而平面的一个法向量为，

所以，因为二面角的平面角为锐角，

所以二面角的正切值为．

考点：异面直线所成的角；二面角的求解．