Question

已知椭圆的两个焦点，且椭圆过点，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积．

（1）求点的坐标；

（2）过点的直线与椭圆相交与点，直线与轴相交与两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由于椭圆过点，联立方程组，可得椭圆的方程，由于，列出方程，代入椭圆的方程，即可求解点坐标；（2）设直线的方程，直线的方程为：，可得，同理，联立方程组，化为，利用根与系数的关系可得，即可证明为定值．

试题解析：（1）因为椭圆过点，

∴，计算得出，∴椭圆的方程为：

∵的面积，∴，∴，代入椭圆方程．

∵，计算得出，∴

（2）解法一：设直线的方程为：，

直线的方程为：，可得：，即

直线的方程为：，可得：，即

联立消去整理得：

由，可得；

，

故为定值，且

解法二：设，直线、、的斜率分别为，由得

，可得：，，，

由，令，得，即

同理，即，则

故为定值，该定值为

考点：椭圆的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系的应用．

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的性质的应用、直线与圆锥曲线位置关系的应用，其中设直线的方程，得出直线和的方程，得到的坐标，联立方程组，利用根与系数的关系可得是解答问题的关键，着重考查了转化与化归思想及推理和运算能力，试题有一定的难度，属于难度．