Question

已知函数，是常数，且．

（1）讨论零点的个数；

（2）证明：．

Answer

（1）当时，零点的个数是，当时，零点的个数是，当时，零点的个数是，当时，零点的个数是；（2）证明解析．

【解析】

试题分析：（1）求出函数的导数，令得或，分、、、四种分别讨论，判断函数的的零点的个数；（2）取，由（1）知在上单调递增，取，化简得，取，得，即可化简证明结论．

试题解析：证明：（1）．

解得，或．

①时，，若，

若，有一个零点．

②时，，

由上表可知，在区间有一个零点．，

又，任取，

，在区间有一个零点，从而有两个零点．

③时，，在上单调递增，有一个零点．

④时，，

由上表可知，在区间有一个零点，在区间有一个零点，

从而有两个零点．

（2）取，由（1）知在上单调递增，

取，则，化简得．

取，由（1）知在区间上单调递减，

取，由，得，

即，综上，．

考点：函数的零点的概念；利用导数研究函数的单调性与极值、最值．

【方法点晴】本题主要考查了函数的零点个概念及个数的判断、利用导数研究函数的单调性及极值与最值的应用，其中由（1）知在上单调递增，取，化简得，再取，得是解答问题的关键，着重考查了转化与化归及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题．