Question

如图，在直角中，，为边上异于的一点，以为直径作圆，并分别交于点．

（1）证明：四点共圆；

（2）若为的中点，且，，求的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由是的直径，利用圆周角定理得到，证得，即可得到四点共圆；（2）由是的直径，得是的切线，根据切线长定理得，再利用勾股定理得，利用四点共圆的性质和圆的相交弦定理，即可求解的长．

试题解析：（1）连结、，则，

∵是的直径，∴．

∵，∴，

∴，即，

∴四点共圆．

（2）∵，是的直径，

∴是的切线，，即．

∴．∵为的中点，∴，．

∵四点共圆，∴．∴，即．

考点：与圆有关的性质及圆的相交弦定理的应用．