Question

已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为______．

Answer

【解析】

试题分析：由，则对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则，所以函数在单调递增，因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足，当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，故，所以，所以实数的最大值为．

考点：导数在函数中的应用；函数的恒成立问题．

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、最值、函数的恒成立问题的求解等知识的综合应用，其中把函数，对于对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立，设成新函数，利用函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题．