Question

已知椭圆的两焦点分别为，经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过的直线交与两点，且，设两点关于轴的对称点分别是，求四边形的外接圆的方程．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由题意得，进而可得，把点代入，可计算得到的值；（2）设，代入椭圆的方程，整理得，由韦达定理可得，即可求解圆的圆心坐标和半径，得到圆的方程．

试题解析：（1）由题意得：，

∴，∴椭圆的方程为：

（2）当直线斜率为0时不合题意，

∴设直线

∴

∴，令

则…………（1）

∵，∴…………（2）

联立（1）（2）可得：符合．

不妨设，则线段的垂直平分线的方程为

则所求圆的圆心为，

∵，∴所求圆的半径为，∴所求圆的方程为．

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆的方程等知识的综合应用，其中将直线方程，代入椭圆的方程，整理得，由韦达定理可得是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．