Question

已知函数．

（1）求函数的图象在点处的切线方程；

（2）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，证明：．

Answer

（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求出导数，求解，得到直线的斜率，即可求解在点处的切线方程；（2）由，可得表示直线的斜率，再构造函数，研究函数的单调性，即可证明结论．

试题解析：（1），∴

，∴切线方程为

（2）证法一：要证原不等式成立只需证，

∵ 即证，令

只需证

令，∴

∴在上单调递减，成立；

令

∴在上单调递增，成立；

综上所述：．

考点：利用导数研究函数在某点处的切线方程；不等式的证明．

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程、利用导数研究函数的单调性、极值与最值以及不等关系的证明等知识的应用，其中把的证明，转化为直线的斜率，构造新函数，利用导数研究新函数的极值与最值是解答的关键，着重考查了转化与化归思想及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题．