Question

已知同时满足下列两个条件：①函数在内单调递增或递减；②若存在，使函数在上的值域为，则称为闭函数.

（1）求闭函数符合条件②的区间；

（2）判断函数是否为闭函数？说明理由：

（3）若是闭函数，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）不是闭函数；（3）.

【解析】

试题分析： （1）先判断单调递减，再根据题意列方程组，可求出；（2），上不是单调函数，不符合闭函数条件①，所以不是闭函数；（3）可转化为是方程的两根，即有两不同正根，列不等式组求解即可.

试题解析：（1），则满足条件的区间为.

（2），上不是单调函数，不符合闭函数条件①，所以不是闭函数.

（3）设则的定义域为，在上单调递增. 设符合条件的区间为，则，即是方程的两根，可转化为有两个非负零点，即方程在内有两个不同实数根，

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考点：1、函数的单调性；2、韦达定理及方程根与系数之间的关系.

【方法点晴】本题主要考查、函数的单调性以及方程根与系数之间的关系，属于难题.关于一元二次方程根与系数之间的关系的题可出选择填空也可出解答题，最常见题型如下：①②③④⑤⑥有一个在区间内，一定要熟练掌握.