Question

如图，在三棱锥中，为的中点．

（1）求证：；

（2）设平面平面，，求二面角的正弦值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1） 设的中点为，连接，由可证平面，进而可得；（2）两两互相垂直，可建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用空间两向量夹角余弦公式求出二面角的余弦，进而求的正弦.

试题解析：（1）设的中点为，连接，∵，∴，

又∵为的中点，∴，∵，∴．

∵，∴平面，

又∵平面，

∴．

（2）由（1）知：，，

∵平面平面，

平面平面平面，

∴平面，∵平面，

∴，∴两两互相垂直．

∵，∴．

由为的中点，得，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

∴．

设平面的一个法向量为，则．

∴，取，解得，

∴是平面的一个法向量．

同理可求平面的一个法向量．

设二面角的大小为，则，

∵，∴，

∴二面角的正弦值为．

考点：1、线面垂直的定义及判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.