Question

2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可能选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．

（1）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；

（2）设该选手所得学豆总数为，求的分布列与数学期望．

Answer

（1）；（2）分布列见解析，.

【解析】

试题分析：（1）设“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件,“第一关闯关成功“第二关闯关失败”为事件,“前两关闯关成功第二关闯关失败”为事件,互斥,, 由此能求出第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（2）由题意的可能取值为分别求出相应的概率, 由此能求出的分布列和.

试题解析：（1）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件，则互斥，

（2）所有可能的取值为

，

所以的分布列为：

考点：1、独立事件同时发生的概率；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.