Question

已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1） ；（2）存在一个定点满足条件.

【解析】

试题分析：（1）由题设可知,利用,即可求得椭圆的方程；（2）先猜测的坐标, 再进行验证，若直线的斜率存在, 设其方程代入椭圆的方程, 消去得到关于的方程二次方程, 再结合根系数的关系利用向量的坐标运算公式即可证得.

试题解析：（1）则由题设可求得，

又，则，所以椭圆的方程是.

（2）解法一：假设存在点，若直线的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理得，

设点的坐标分别为，则，

因为及，所以

当且仅当恒成立时，以为直径的圆恒过定点，

所以，解得，此时以为直径的圆恒过定点，

当直线的斜率不存在，与轴重合，以为直径的圆为也过点．

综上可知，在坐标平面上存在一个定点，满足条件分

解法二：若直线与轴重合，则以为直径的圆为，

若直线垂直于轴，则以为直径的圆为，

由，解得，由此可知所求点如果存在，只能是事实上点就是所求的点，证明如下：

当直线的斜率不存在，即直线与轴重合时，以为直径的圆为，过点；

当直线的斜率存在，设直线方程为，

代入椭圆 方程并整理得，

设点的坐标为，则，因为，所以有,

所以，即以为直径的圆恒定过点,

综上可知，在坐标平面上存在一个定点满足条件 .

考点：1、待定系数法求椭圆标准方程；2、韦达定理及曲线过定点问题.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程及韦达定理及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标. ②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.